Задача расчета изменения температуры воздуха tв [°C] и поверхностей ограждающих конструкций в помещении при его начальном разогреве или охлаждении в результате скачкообразного изменения теплопотерь или теплопоступлений имеет большое значение, поскольку ее решение может быть использовано в очень многих случаях. В частности, это бывает нужно при исследовании аварийных режимов работы систем теплоснабжения или нестационарных тепловых процессов при обеспечении внутреннего микроклимата автоматизированными климатическими системами. В первом варианте речь обычно идет о достаточно продолжительных интервалах времени, в течение которых температурная волна успевает проникнуть во всю толщу ограждений, и, таким образом, решение обычно получается в экспоненциальной форме [1–3], что соответствует так называемому «регулярному режиму» нагрева или охлаждения [4].

В то же время для целей анализа нестационарного теплового режима помещения и синтеза систем автоматического регулирования тепломассообменного оборудования климатических систем более существенное значение имеет рассмотрение краткосрочных процессов непосредственно после возникновения теплового возмущения. Здесь принципиальным вопросом оказывается именно скорость распространения температурных волн в массиве ограждений, обращенных в помещение.

Однако до настоящего момента подобные режимы рассматривались значительно реже, при этом данные задачи решались либо с такими же упрощениями, как и для регулярного режима [5–7], либо получаемые зависимости оказывались неявными и формулировались в понятиях теории теплоустойчивости, непосредственно предназначенной для периодических колебаний теплового потока [4].

В публикации [8] и некоторых других работах автором было сформулировано весьма простое аналитическое выражение для избыточной температуры внутреннего воздуха θв = |tв — tв. 0|, [К], где tв. 0 — исходное значение tв, для относительно малых моментов времени τ [с] (порядка нескольких часов), которое выглядит так:

здесь Qпост — величина скачка теплопотерь или теплопоступлений, Вт; B — показатель теплоаккумуляционных свойств помещения, Вт∙√_с/К.

С учетом закономерностей распространения температурных волн в твердой среде его значение вычисляется по формуле [8]:

где λ, с и ρ — это теплопроводность [Вт/(м·К)], удельная массовая теплоемкость [Дж/(кг·К)] и плотность [кг/м³], соответственно, материала слоя i-й массивной ограждающей конструкции, обращенной внутрь помещения, например, наружных и внутренних стен, перегородок и междуэтажных перекрытий (тогда двери, окна, а также тонкие слои краски и штукатурки учитывать не требуется); Aм — площадь каждой из таких конструкций [ м²], которую можно определить исходя из геометрических размеров помещения.

Однако решение в форме (1) получено для простейшего случая, когда не учитывается влияние на процесс никаких других факторов, так или иначе осложняющих или замедляющих разогрев или охлаждение, а принимается во внимание только поступающий тепловой поток и теплофизические свойства ограждающих конструкций. Между тем достаточно очевидно, что объем находящегося в помещении внутреннего воздуха обладает определенной тепловой инерционностью, кроме того, при наличии фонового нерегулируемого общеобменного притока (например, вследствие инфильтрации) темп изменения температуры тоже должен снижаться. Наконец, если источник теплового возмущения имеет преимущественно лучистый характер, что характерно, в частности, для теплопритоков от солнечной радиации или от технологического оборудования, теплота в первую очередь будет поступать на поверхности в помещении, а уже затем в воздух в результате конвективного теплообмена, что также должно замедлять процесс разогрева на начальном этапе. Данные вопросы по отдельности рассматривались ранее автором в публикациях [8–10].

Так, в работе [8] было исследовано влияние нерегулируемого воздухообмена и установлено, что его можно учесть за счет включения в формулу (1) дополнительного понижающего коэффициента. Однако при этом была использована аналогия с процессом выравнивания температуры в помещении при наличии только вентиляции без появления дополнительных теплопотерь или теплопоступлений, что приводит к не вполне корректным с точки зрения их физического смысла выводам. Поэтому целесообразно получить более точное решение с помощью рассмотрения дифференциального уравнения теплового баланса помещения для данного случая, которое тогда, очевидно, будет выглядеть следующим образом:

где cв — удельная массовая теплоемкость воздуха, cв = 1005 Дж/(кг∙К); Gп — массовый расход фонового притока, кг/ч. Подстановкой z = √_τ уравнение (3) сводится к линейному неоднородному первого порядка, которые всегда интегрируются, по крайней мере в квадратурах, а здесь решение можно довести до конца в элементарных функциях, и тогда искомое выражение для понижающего множителя с учетом (1) и очевидного начального условия θв = 0 при τ = 0 будет иметь вид:

где 

— безразмерный комплекс, отражающий отношение количества теплоты, ассимилированного вентиляционным воздухом и массивом ограждений помещения. Используя разложение экспоненциальной функции в ряд Тейлора, легко видеть, что при τ → 0 величина k1 стремится к 1,0, а с ростом τ действительно начинает убывать. Однако его предельное значение для τ → ∞ будет составлять 1/x1, и, следовательно, избыточная температура воздуха станет приближаться к 3600Qпост/(Gпcв), то есть к уровню, определяемому величиной Qпост и имеющимся воздухообменом в стационарном режиме. Таким образом, формула (4) получает достаточно прозрачный физический смысл, поскольку выглядит как описание процесса асимптотического затухания отклонения, но не от невозмущенного решения (1), а от стационарных условий.

Тепловая инерционность объема внутреннего воздуха в помещении с точки зрения ее влияния на скорость разогрева или охлаждения изучалась автором в работе [9], где было показано, что соответствующий понижающий множитель для формулы (1) должен выглядеть как:

где 

— некоторый безразмерный параметр, показывающий в данном случае соотношение количества теплоты, поглощенного материалом массивных ограждающих конструкций и объемом воздуха помещения Vпом, м³. Здесь ρв — плотность этого воздуха, которую при решении задач вентиляции и кондиционирования обычно считают равной 1,2 кг/м³. Отметим, что зависимость (5) имеет несколько иной вид, чем (4), но нетрудно проверить, что она имеет асимптотический характер с постепенным уменьшением отклонения от (1) с течением времени.

Наконец, вопрос об особенностях разогрева или охлаждения помещения в условиях преобладания лучистых тепловых возмущений можно решить, если записать уравнение типа (3), но при Gп = 0 и с учетом конвективного теплообмена на внутренних поверхностях, поскольку тогда теплота от источника попадает сначала непосредственно на них, а уже затем от ограждений начинается нагрев воздуха.

При этом получается, что данное обстоятельство тоже можно отразить понижающим коэффициентом, для которого будет справедлива зависимость:

где 

— безразмерный комплекс, отвечающий соотношению между тепловым потоком на поверхностях за счет конвекции и поглощением теплоты в объеме воздуха помещения. Здесь величина Λ [Вт/К] имеет смысл общего показателя конвективного теплообмена для ограждений в помещении:

Λ = ∑(αк.iAi), (7)

где площади Ai [ м²] уже необходимо принимать для всех имеющихся поверхностей, обращенных в помещение, в том числе и для так называемых «легких» конструкций, например, окон и дверей. Параметры αк.i [Вт/( м²·К)] — это коэффициенты конвективного теплообмена между i-й поверхностью и воздухом помещения. Можно показать, что выражение (6) также является асимптотическим, то есть наблюдаемое расхождение между температурой воздуха и поверхностей ограждающих конструкций в процессе разогрева или охлаждения помещения при наличии преимущественно лучистых теплопоступлений с течением времени затухает, как и влияние других рассмотренных ранее факторов.

В связи с этим можно поставить задачу объединения зависимостей (4)-(6) для получения универсального соотношения, которое с приемлемой для инженерной практики точностью учитывало бы совместное влияние всех перечисленных обстоятельств на темп изменения температуры воздуха. Разумеется, соответствующая формула будет заведомо носить аппроксимационный характер в силу несовпадения формы (4)-(6), а, кроме того, их нелинейный характер, строго говоря, не позволяет непосредственно применять принцип суперпозиции для такого случая. Однако, если нас интересует в первую очередь инженерный расчет, который подразумевает получение конкретного результата, подобное допущение может быть оправданным.

Из общих соображений можно отметить, что результирующее выражение должно иметь вид, позволяющий наложение влияния рассматриваемых факторов, причем такое наложение должно носить мультипликативный характер. Иначе говоря, полный поправочный коэффициент должен являться произведением всех трех частных: k = k1k2k3.


Рис.1. Зависимость θв от времени для исследуемого помещения в условиях его начального разогрева [красная линия — по выражению (1), оранжевая — то же с понижающими коэффициентами (4)–(6), точки — экспериментальные данные]

На рис. 1 приведено сопоставление результатов вычисления избыточной температуры по формулам (1), (4)-(6) с данными экспериментальных замеров для характерного помещения офисного типа в общественном здании с преимущественно лучистым электронагревателем в качестве источника теплопоступлений [10], отмеченными точками. При этом величина B принималась на уровне 100 тыс. Вт∙√_с/К в соответствии с теплофизическими характеристиками материалов ограждений и их геометрическими размерами, суммарная площадь их поверхностей ΣAi = 81,7 м² и объем помещения Vпом = 45 м³, а средняя величина αк.i считалась равной 3,7 Вт/( м²·К).

Тогда, если принять кратность воздухообмена около 5,0, получим, что расход притока Gп = 45×5 × 1,2 = 270 кг/ч, и в этом случае после вычисления поправочных множителей по выражениям (4)-(6) оказывается, что экспериментальные точки очень хорошо укладываются на теоретическую кривую. Во всяком случае, отклонения в большинстве случаев не превышают погрешности применяемого измерительного прибора — цифрового контактного мини-термометра Testo 05601110 с ценой деления 0,1 К.

Таким образом, мы показали, что совместное действие тепловой инерционности объема воздуха помещения, фонового воздухообмена и лучистого характера теплового возмущения на скорость начального разогрева или охлаждения помещения действительно может быть учтено произведением соответствующих понижающих коэффициентов. Сравнение получаемых при этом данных с результатами эксперимента подтверждает такую возможность и тем самым позволяет использовать предлагаемую методику для инженерных расчетов, поскольку зависимости (4)-(6) весьма просты и требуют минимального количества исходных данных. Кроме того, при реализации рассматриваемого алгоритма можно при необходимости проводить идентификацию построенной математической модели, поскольку сопоставление теоретических и опытных значений позволяет методом подбора определить интересующие нас параметры помещения и системы вентиляции.