Введение Задача определения гидродинамического сопротивления канала при течении в нём несжимаемой жидкости имеет большое практическое значение. Подобные задачи встречаются, например, при проектировании трубопроводов различного назначения, теплообменных аппаратов, котлов и прочего оборудования. На данный момент гидродинамическое сопротивление каналов рассчитывается, как правило, с помощью эмпирических зависимостей, полученных в результате обработки экспериментальных данных. В связи с актуальностью данной задачи вопросам расчёта гидродинамического сопротивления каналов сложной формы посвящено большое количество публикаций, например, [1–3]. В данных работах для расчё- та сопротивления каналов предлагаются те или иные математические модели, использующие эмпирические коэффициенты. Одной из основных монографий, посвящённых исследованию гидродинамического сопротивления каналов сложной формы, является книга [4], в которой собраны эмпирические зависимости, позволяющие рассчитывать сопротивления каналов различных типов. Основным отличием предлагаемой в настоящей работе математической модели является то, что в ней не используются эмпирические зависимости, а для расчёта гидродинамического сопротивления получена единая формула для всех типов каналов. В первой части статьи приводятся упрощённые оценки для средней скорости диссипации энергии в турбулентном потоке и приводится теоретическое обоснование предлагаемой математической модели. Формулировка и обоснование метода Постановка задачи Для описания движения жидкости в канале используем уравнения Навье-Стокса, как наиболее распространённую и наиболее изученную математическую модель движения жидкости. Ниже мы будем использовать некоторые элементы математической теории уравнений Навье-Стокса, для экономии места не приводя их подробного обоснования. Детальное изложение данной теории, а также строгий вывод всех приводимых ниже формул можно найти в [5]. Будем считать жидкость несжимаемой и имеющей постоянную плотность ? = 1, тогда уравнения Навье-Стокса примут вид: ?u/?t — ??u + (u · )u + p = f, u · = 0, (1) u = 0 на ??, где ? — кинематическая вязкость, а рассматриваемый канал является ограниченной областью ? ? R3 с границей ??. Для простоты мы будем использовать условия Дирихле на границе рассматриваемой области, хотя все полученные в данной работе результаты можно распространить и на более сложные граничные условия (подробнее о граничных условиях для уравнений Навье-Стокса, например, [6, 7]).

Пусть u — слабое решение системы (1). Следуя [5], определим среднюю скорость диссипации энергии турбулентного потока на единицу массы как где усреднение ?·? определяется для любой ограниченной функции f как Отметим, что величина ? характеризует среднее количество энергии, переходящее в тепло в единице массы жидкости за единицу времени. Получению оценок для ? посвящено большое число работ, например, [8, 9], так как с данным показателем связаны такие важные величины, как коэффициент лобового сопротивления (см. [10], гл. 5) и скорость теплои массопереноса [11]. Ниже будут получены зависимости, позволяющие эффективно и с достаточной точностью вычислять значения ?. Необходимо отметить, что на сегодняшний день уравнения Навье-Стокса ещё недостаточно изучены, поэтому с их помощью достаточно сложно строго получить зависимости, применимые для практических задач по вычислению гидродинамического сопротивления каналов. Предлагаемые в настоящей работе зависимости получены с использованием некоторых упрощающих допущений, поэтому не могут считаться абсолютно точными. Тем не менее, как будет показано во второй части статьи, они дают достаточно хорошее совпадение с экспериментальными данными. Приближенное выражение для диссипации энергии Пусть ?k — собственные числа, а wk — собственные функции оператора Стокса, то есть имеет место: Awk = ?kwk, k = 1, 2, …, где A — оператор Стокса, соответствующий задаче (1). Тогда любое слабое решение системы (1) можно представить в следующем виде: u = ??k =1?kwk, где ?k = (u, wk). Известно, что для ? справедливо следующее представление ([5], гл. 2): где | ? | — объём рассматриваемой области. Далее мы везде будем рассматривать усреднённые по времени величины, поэтому знак усреднения ?·? для краткости будем опускать. Из формулы (2) видно, что средняя скорость диссипации энергии зависит от геометрии канала (посредством собственных чисел оператора Стокса) и от коэффициентов uk из разложения u по собственным функциям оператора Стокса. Выведем приближенную оценку для | ?k |2 в трёхмерном случае, основываясь на теории турбулентности математика А. Н. Колмогорова. Из данной теории следует, что энергетический спектр турбулентного потока S(k) ведёт себя на подходящем интервале волновых чисел как k-5/3, и чем больше число Рейнольдса, тем шире этот интервал. Точнее, справедливо следующее соотношение: S(k) ~ C?2/3k-5/3, (3) где C — константа Колмогорова. Интервал значений k, на котором справедливо (3), называется инерционным интервалом. Такое поведение энергетического спектра на инерционном интервале было неоднократно подтверждено натурными испытаниями, хотя последние исследования показывают, что константа ?5/3 может быть уточнена. Экспериментально подтверждённым наиболее точным значением для этой константы считается ?1,71 (подробнее об этом и о других моделях турбулентности, например, в работе [12]). Рассмотрим произвольный интервал волновых чисел [k, 2k), лежащий внутри инерционного интервала. Кинетическая энергия турбулентного потока для данного интервала волновых чисел может быть записана в виде: e(uk, 2k) = 0,5 ?k??<2k | ?? |2. (4) Отметим, что e(uk, 2k) представляет среднее значение энергии на единицу массы для вихрей с линейными размерами в пределах {1/(2k), 1/k}. В физике и в инженерных приложениях обычно принимается, что для e(uk, 2k) справедливо следующее интегральное представление (ссылка): ?1e(uk, 2k) = ?k 2kS(?)d?. (5) Несложно заметить, что отсюда следует (подробнее см. [5], гл. 4): ?1e(uk, 2k) ~ kS(k). (6) Ряд ??k=1| ?k |2 абсолютно сходится, поэтому для (4) справедливо представление в виде интеграла Лебега (см. [13], гл. 3): ??k ??<2k | ?? |2 = ?k 2k| ?? |2d?. Из (3), (4) и (6) следует: 0,5?1 ?k 2k| ?? |2d? ~ kS(k) ~ C?2/3k-2/3, (7) откуда получаем: 0,5?1[| ?k |2 — | ?2k |2] ~ (2/3)C?2/3k-5/3.(8) Рассмотрим теперь интервал [k, 2ak) (a >> 1), лежащий внутри инерционного интервала. Представив его в виде объединения [k, 2ak) = [k, 2k) ? [k, 4k) ? … … ? [2a-1k, 2ak] и, используя для каждого элемента объединения формулы (7) и (8), получим: | ?k |2 — | ?2ak |2 ~ C??2/3k-5/3, для некоторой константы будет иметь место C? = C?(?). Из сходимости ряда ??k=1| ?k |2 следует | ?k |2 ? 0 при k ? ?, поэтому, если выбрать a достаточно большим (что возможно для турбулентных течений с достаточно большим числом Рейнольдса), можно получить соотношение: | ?k |2 ~ ??2/3k-5/3. (9) Для практических вычислений в формуле (9) мы будем вместо ?5/3 использовать уточнённое значение показателя степени: ?1,71. Упрощённо полагая | ?k |2 ? C?2/3k-1,71 и используя (2), можно получить следующее приближенное равенство для ?: Отметим, что ряд в формуле (10) пока записан формально, вопрос о его сходимости будет рассмотрен в следующем пункте. Приведённые выше рассуждения справедливы для изотропной однородной турбулентности, когда выполняется соотношение (3). Однако в случае турбулентного течения жидкости в канале поток имеет более сложную, неоднородную структуру (подробнее, например, в работе [14], а также гл. 6 из книги [15]). Естественно, возникает вопрос — можно ли получить полезную информацию о турбулентном потоке в канале, используя теорию А. Н. Колмогорова?

Оказывается, что, несмотря на то, что наличие стенок существенно влияет на структуру потока, некоторые его важные характеристики могут быть вычислены, используя зависимости, полученные А. Н. Колмогоровым для изотропной турбулентности (подробнее об этом см. работы [16, 17]). Это объясняется тем, что, несмотря на сложность траекторий частиц в турбулентном потоке, структура потока в канале остаётся неизменной при неизменном числе Рейнольдса. В частности, с помощью численных методов и в натурных экспериментах было обнаружено, что при турбулентном течении в каналах примерно 35% диссипации энергии происходит в относительно небольшой окрестности стенок канала. То есть можно предположить, что скорость диссипации энергии на единицу массы вблизи стенок канала при фиксированном числе Рейнольдса будет пропорциональна скорости диссипации энергии вдали от стенок канала, где справедливо соотношение (3). Следовательно, можно ожидать, что формула (10) может быть применена и для случая течения жидкости в канале. Подтверждение этому будет приведено во второй части статьи. Применение методов спектральной геометрии для вычисления диссипации энергии Интуитивно понятно, что гидродинамическое сопротивление канала существенно зависит от его формы. Это подтверждает и выражение (10) — из него следует, что диссипация энергии в турбулентном потоке определяется в том числе и спектром оператора Стокса, соответствующего задаче (1). Какую же информацию о геометрии канала несёт спектр его оператора Стокса? Полного ответа на этот вопрос пока нет, так как сам этот спектр ещё недостаточно изучен. Однако в работах [18, 19] было отмечено, что асимптотическое поведение собственных чисел оператора Стокса и оператора Лапласа во многом схоже, а именно имеет место следующее. Пусть {?k}?k =1 — собственные числа оператора Стокса: -?uk + pk = ?kuk, div(uk) = 0, uk = 0 на ??, а {?k}?k =1 — собственные числа оператора Лапласа: -?vk = ?kvk, vk = 0 на ??, тогда справедливы соотношения: а также где ? ? Rn, ?n — объём единичного шара в Rn, I(?) = ?? x2dx. Несложно видеть, что {?k}?k=1 и {?k}?k=1 имеют во многом схожее поведение, поэтому представляется оправданным использование в формуле (10) ?k вместо ?k. Использование спектра оператора Лапласа оправдано ещё и потому, что данный спектр (в отличие от спектра оператора Стокса) на поверхностях в R3 уже достаточно хорошо изучен [20], и установлено, что он несёт важную информацию о геометрии поверхности. В частности, в работах [21, 22, 23] показано, что спектр оператора Лапласа может с успехом использоваться для распознавания изображений, а также для решения различных задач, связанных с анализом трёхмерных объектов. Спектр оператора Лапласа широко применяется в спектральной геометрии благодаря его способности давать важные сведения о геометрии объекта, причём в большинстве случаев данные сведения могут быть получены с достаточно высокой точностью и без чрезмерных затрат на вычисления. В то же время вычисление спектра оператора Стокса требует более существенных вычислительных ресурсов, а имеющиеся для его вычисления алгоритмы пока подтвердили свою эффективность только для несложных двухмерных задач, например, [24, 25]. В связи с этим, а также учитывая схожесть спектров операторов Стокса и Лапласа, в настоящей работе при проведении вычислений по формуле (10) с целью упрощения расчётов вместо собственных значений оператора Стокса используются собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрим теперь вопрос о сходимости ряда в формуле (10). Из (11) для R3 получим: и последний ряд сходится, поскольку имеет место ?1,71 + 2/3 < ?1. Таким образом, для величины средней скорости диссипации энергии предлагается использовать следующую приближенную формулу: где ?k — собственные числа оператора Лапласа рассматриваемой области. Как будет показано во второй части статьи, данное соотношение в определённом интервале волновых чисел (при достаточно больших числах Рейнольдса) с достаточно высокой точностью подтверждается результатами натурных испытаний. Общая формулировка метода Приведём общую схему предлагаемого метода вычисления гидродинамического сопротивления канала постоянного сечения. Будем рассматривать каналы вида: ? = ? ~ ? L, ? ~ ? R2, L ? R, (13) где длина отрезка L является длиной непосредственного самого канала. Известно [4], что сопротивление каналов постоянного сечения может быть вычислено по формуле Дарси-Вейсбаха: где ? — коэффициент сопротивления трения для каналов круглого сечения;

чения канала (S — площадь сечения канала, ? — периметр сечения); ? — удельный вес жидкости, движущейся в канале; ? = V/S — скорость жидкости (V — объёмный расход); g — ускорение свободного падения. Коэффициент k зависит от формы сечения канала и определяется эмпирически (для каналов круглого сечения k = 1). Таким образом, задача вычисления гидродинамического сопротивления канала сводится к отысканию значения k, соответствующего этому каналу. Покажем, что коэффициент k для каждого конкретного канала может быть получен с помощью формулы (12). Рассмотрим течение жидкости в канале ?? круглого сечения и в канале ?1 произвольного сечения. Длины этих каналов будем считать равными, а размеры сечений каналов выберем так, чтобы | ?? ~ 1 |·| ? ~ ? |3 = | ?? ~ ? |·| ? ~ 1 |3, (15) где | ? ~ ?,1 | — площадь, а | ?? ~ ?,1 | — периметр сечения каналов ? ~ ?,1. Пусть ?P?,1 — гидродинамические сопротивления этих каналов. Учтём, что ?? = ?1, а для канала круглого сечения k? = 1. Тогда при равенстве объёмных расходов жидкости через данные каналы из формулы (14) следует: где k1 — искомый коэффициент, позволяющий определить сопротивление канала ?1. Применим теперь формулу (12) для вычисления гидродинамического сопротивления канала. Для двух вышеупомянутых каналов обозначим и представим k1 в виде где C~ = C~ (??, ?1) — некоторая константа, зависящая от геометрии каналов. Такое представление для k1 имеет физический смысл: оно отражает зависимость между гидродинамическим сопротивлением канала и скоростью диссипации энергии в турбулентном потоке в данном канале. С точки зрения физики процесса понятно, что такая зависимость существует, однако её точный вид пока не установлен [26]. Отметим, что предложенная в данной работе зависимость для k1 при соответствующем выборе константы C~ даёт хорошее совпадение с экспериментальными данными. При таком представлении для k1 формула (16) примет вид: Сопротивление ?P? канала круглого сечения вычисляется по классической формуле (14) с коэффициентом k? = 1, значения ??,1 могут быть вычислены по формуле (12). Следовательно, для вычисления гидродинамического сопротивления ?P1 канала произвольного сечения осталось установить точные выражения для константы C~. Это будет сделано во второй части статьи, где мы также проверим, с какой точностью соотношение (17) выполняется для каналов различной геометрии. Заключение В настоящей работе на основании некоторых упрощающих допущений получена формула для средней скорости диссипации энергии при турбулентном течении в канале и предложен метод для вычисления гидродинамического сопротивления каналов произвольного сечения. Результаты, полученные с помощью данного метода, хорошо согласуются с результатами натурных испытаний (результаты вычислений будут приведены во второй части статьи). При этом реализация предложенного метода не требует ни специального программного обеспечения (все вычисления могут проводиться с помощью математических библиотек, находящихся в свободном доступе), ни каких-либо существенных вычислительных мощностей. Однако предлагаемый метод может быть усовершенствован в ряде аспектов, а именно вместо собственных чисел оператора Лапласа можно использовать собственные числа оператора Стокса. Также возможно использование граничных условий, более точно соответствующих физике поставленной задаче. Отметим, что предлагаемый метод может быть обобщён на случай каналов с переменным сечением. В частности, путём обобщения данного метода автором были получены гидродинамические сопротивления равномерно сужающихся и равномерно расширяющихся каналов. Данные предварительные результаты с достаточной точностью совпадают с результатами натурных экспериментов.